Über die Berechnung von Leasingraten von Dr. Roland Mildner, Leipzig 0. Was ist Leasing ? Unter "Leasing" versteht man grob gesagt die "entgeltliche Gebrauchsüberlassung von Gütern auf Zeit", also eine besondere Art Mietverhältnis, vor allem rechtlich gesehen. Besonders verbreitet sind Leasing von Kraftfahrzeugen, Computern und Immobilien. Die häufigste Art des Leasing, das Finanzierungsleasing, funktioniert in etwa so: Der Leasing- geber (svw. Vermieter) kauft den Leasinggegenstand (i. Allg. durch Refinanzierung über Bank-Kredite) und überlässt ihn anschließend dem Leasingnehmer (svw. Mieter) für einen ganz bestimmten Zeitraum (Grundmietzeit) zu einem festgelegten monatlichen Betrag (svw.Miete = Leasingrate R) zum Gebrauch. Leasinggeber und Leasingnehmer schließen einen Vertrag, den sog. Leasingvertrag, für dessen Ausgestaltung es in der Praxis zahlreiche Varianten gibt. Es sei bemerkt, dass in diesem Rahmen nicht auf die zahlreichen Spielarten der Gestaltung von Leasingverträgen eingegangen werden kann, und auch nicht auf die vielen rechtlichen Besonderheiten des Leasing. In diesem Beitrag soll es lediglich um die mathematische Berechnung der Leasingrate R, die der Leasingnehmer laut Vertrag monatlich an den Leasinggeber zu zahlen hat, gehen. Die Höhe der Leasingrate R wird prinzipiell dadurch bestimmt, dass sich der materielle Einsatz des Leasinggebers letztendlich voll amortisiert, d.h. dass der Leasinggeber den Preis für das Leasinggut (= Anschaffungskosten A) und eine entsprechende Verzinsung des von ihm für den Erwerb eingesetzten Kapitals (Bankzins: Zinssatz i) zurückerhält und darüber hinaus einen angemessenen Gewinn (= Gewinnzuschlag G) erzielt. Bei den sog. "Vollamortisationsverträgen" muss der Leasingnehmer alle Kosten des Leasinggebers durch die Raten innerhalb der Grundmietzeit, in der das Vertragsverhältnis unkündbar ist, abdecken. Bei den zahlreichen Arten von sog. "Teilamortisationsverträgen" können die Leasingraten durch verschiedene Fallgestaltungen geringer gehalten werden,etwa durch eine Einmalzahlung des Leasingnehmers zu Vertragsbeginn (= Sonderzahlung S) oder durch eine Abschlusszahlung bzw. den Kauf des Leasinggegenstandes am Ende der Vertragszeit zum Restwert (= Restwert RW). Man kann auch vereinbaren, das Mietverhältnis über die Grundmietzeit hinaus zu verlängern, wobei eine Verlängerungsmiete M gezahlt werden muss. In der Leasing-Praxis wird die im Vertrag zu vereinbarende Leasingrate R natürlich mit einem Computer oder mancherorts auch mit einem Taschenrechner (mit Leasingfunktion) ausgerechnet. Man gibt nur die in Frage kommenden Parameter, wie A und i sowie G, S und RW (letztere in Prozent der Anschaffungskosten A), ein und der Computer berechnet dann die gewünschte Leasingrate R. Aber selbst langjährigen Mitarbeitern von Leasing- firmen fällt es oft nicht leicht, das, was ihr Computer ausführt, mathematisch nachzuvoll- ziehen bzw. die Leasingrate per Hand auszurechnen. Und so entstand die Idee zu diesem Beitrag über die mathematische Berechnung von Leasingraten. (home) 1. Mathematische Grundlagen 1.1 Zinseszinsrechnung Seien       - K o das Anfangskapital,       - q = 1 + i = 1 + p/100 der Zinsfaktor (p = Zinsfuß, i = p/100 = Zinssatz),       - n die Anzahl der Zinsperioden und       - K n das Kapital nach n Zinsperioden. Dann gelten für die Aufzinsung bzw. Abzinsung folgende Formeln: Aufzinsung:           (1) Abzinsung:         (2) Dabei heißt q n = (1 + i) n der Aufzinsungsfaktor und q - n = 1 / q n = 1 / (1 + i) n der Abzinsungsfaktor. 1.2 Nachschüssiger Barwert einer Zahlungsreihe und Raten Der nachschüssige Barwert B o der Zahlungsreihe Z 1 , Z 2 , Z 3 , ..., Z n beträgt:     (3) Der Zusatz "nachschüssig" bedeutet, dass die Zahlungen am Ende jeder Zahlungsperiode erfolgen. Sind alle Zahlungen gleich, d.h. Z 1 = Z 2 = Z 3 = ... = Z n = R, so gilt für den nachschüssigen Barwert B o der Zahlungsreihe R, R, R, ... , R ( n Raten ):     (4) Wir beweisen die Gleichung (4) unter Benutzung der Formel für die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge:     (*) Denn nach dieser Formel (*) gilt: was zu beweisen war. Durch Auflösen der Gleichung (4) nach R ergibt sich für die nachschüssigen Raten: .     (5) Dabei heißen der Kapitalwiedergewinnungsfaktor oder Annuitätenfaktor und der Diskontierungssummenfaktor oder Barwertfaktor. 1.3 Vorschüssiger Barwert einer Zahlungsreihe und Raten Erfolgen die Zahlungen vorschüssig (d.h. zu Beginn jeder der n Zahlungsperioden), so gelten analog zu (3), (4) und (5) die folgenden Formeln: Analog zu (3) gilt für den vorschüssigen Barwert Bo* der Zahlungsreihe Z 1 , Z 2 , Z 3 , ..., Z n :     (3') Analog zu (4) gilt dann für den vorschüssigen Barwert Bo* der Zahlungsreihe R, R, R, ... , R (n Raten):     (4') Der Beweis der Formel (4') erfolgt ganz analog zum Beweis der Formel (4). Analog zu (5) gilt dann für die vorschüssigen Raten R* :     (5') 2. Kalkulation der Leasingraten Seien       - i = p / 100 der Bank-Zinssatz je Zahlungsperiode,       - q = 1 + i = 1 + p / 100 der Zinsfaktor,       - n die Leasingdauer (Anzahl der Zahlungsperioden) und       - L die Leasingsumme (z. B. Anschaffungspreis + Gewinnzuschlag). Dann gilt nach Formel (5) mit B o= L für die nachschüssigen Leasingraten R:     (6) Entsprechend gilt nach Formel (5') mit Bo* = L für die vorschüssigen Leasingraten R*:     (6') Die Leasingsumme L in den Formeln (6) bzw. (6') kann nun je nach Leasingvertrag unterschiedliche Werte annehmen. Einige davon haben wir in der folgenden Tabelle aufgelistet: Fall Sonder- zahlung Rest- wert Mietver- längerung Wert von L in Formel (6) bzw.(6') (Gewinn G sei stets einkalkuliert.) (6/1) - - - L = A + G (6/2) S - - L = A + G - S 6/3) - RW - L = A + G - RW / qn (6/4) S RW - L = A + G - S - RW / qn (6/5) - - von n1 bis n2 Verlän- gerungs- miete M Dabei sind: A = Anschaffungskosten, G = Gewinnzuschlag, S = Sonderzahlung zu Vertragsbeginn, RW = Restwert bzw. Abschlusszahlung, M = Verlängerungsmiete, q = 1 + i = Zinsfaktor. Bemerkt sei, dass in Zeile (6/5) die Größe der Zeitwert der Miete M zum Zeitpunkt n 1 ist, und die Größe der Barwert der Miete M. 3. Berechnung der Leasingraten Seien, wie es in Leasingfirmen praktisch üblich ist, Gewinnspanne G, Sonderzahlung zu Vertragsbeginn S und Restwert bzw. Abschlusszahlung RW in Prozent der Anschaffungs- kosten A festgelegt, also     iG = Gewinnspanne (in % der Anschaffungskosten: G = iG · A),     iS = Sonderzahlung (in % der Anschaffungskosten: S = iS · A),     iRW = Restwert (in % der Anschaffungskosten: RW = iRW · A),     i = Bank-Zinssatz je Zahlungsperiode (bei Monatsraten: Bankzins p.a. = 12 i ),     n = Leasingdauer ( z.B. in Monaten ). Dann gilt nach (6) und (6/4) für die nachschüssigen monatlichen Leasingraten: Es gilt also für die nachschüssigen monatlichen Leasingraten R (ohne Mietverlängerung):     (7) Analog gilt nach (6') und (6/4) für die vorschüssigen monatlichen Leasingraten R (ohne Mietverlängerung):     (7') Hierbei wird F der nachschüssige und F* der vorschüssige Leasingfaktor genannt. Es ist offensichtlich, dass bei Gleichheit der in den Formeln auftretenden Parameter die Beziehungen F* =  F / (1 + i) und R* =  R / (1 + i) gelten. 4. Beispiele zur Leasingraten-Berechnung Dem Leser wird empfohlen, die Ergebnisse für die Leasingrate R in den beiden folgenden Tabellen einmal selbst nachzurechnen. 4.1 Nachschüssige Ratenzahlung: iG (%) 12 i (%) iS (%) iRW (%) n (Monate) F A (EUR) R (EUR) 8 7 - - 48 2,5862 20.000 517 8 7 - - 36 3,3347 20.000 667 8 7 - - 24 4,8354 20.000 967 8 7 20 - 24 3,94 20.000 788 8 7 - 20 24 4,0567 20.000 811 (*) 8 7 20 20 24 3,1612 20.000 632 8 7 20 20 36 2,2163 20.000 443 Wir berechnen als Beispiel die Zeile (*) nach Formel (7): . (Man beachte, dass bei monatlicher Ratenzahlung gilt: 12 i = 0,07   →   i = 0,07 / 12 ) 4.2 Vorschüssige Ratenzahlung Die Werte der folgenden Tabelle kann man nach Formel (7') berechnen. Da wir aber dieselben Parameter wie in der obigen Tabelle 4.1 genommen haben, so ergibt sich einfach F* =  F / (1 + i) und R* =  R / (1 + i), wobei hier 1 + i = 1 + 0,07 /12 ≈ 1,005833 gilt. iG (%) 12 i (%) iS (%) iRW (%) n (Monate) F* A (EUR) R* (EUR) 8 7 - - 48 2,5712 20.000 514 8 7 - - 36 3,3154 20.000 663 8 7 - - 24 4,8074 20.000 961 8 7 20 - 24 3,9171 20.000 783 8 7 - 20 24 4,0332 20.000 807 8 7 20 20 24 3,1429 20.000 629 8 7 20 20 36 2,2034 20.000 441 home